Cebirsel İfadeler ve Denklem Çözme
📐 KPSS MATEMATİK: ÜSLÜ SAYILAR, KÖKLÜ SAYILAR, ÇARPANLARA AYIRMA, ORAN-ORANTI VE CEBİR
1. ÜSLÜ SAYILAR
Bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımını kısa şekilde göstermeye üslü ifade denir.
aⁿ
ifadesinde:
- a → Taban
- n → Üs
Örnek:
2³ = 2 × 2 × 2 = 8
🧠 KPSS: Üs, tabanın kaç kez çarpılacağını gösterir.
🔢 2. ÜSLÜ SAYILARDA TEMEL KURALLAR
Aynı Tabanlı Sayıların Çarpımı
Tabanlar aynıysa üsler toplanır.
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
Örnek:
2³ × 2⁴ = 2⁷
Aynı Tabanlı Sayıların Bölümü
Tabanlar aynıysa üsler çıkarılır.
aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
Örnek:
5⁶ / 5² = 5⁴
🎯 EZBER:
Çarpma → Üsleri topla
Bölme → Üsleri çıkar
🔢 3. ÜSLÜ İFADENİN ÜSSÜ
Bir üslü ifadenin tekrar üssü alınırsa üsler çarpılır.
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
Örnek:
(2³)² = 2⁶
🔢 4. ÇARPIMIN ÜSSÜ
(a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ
Örnek:
(2 × 3)²
= 2² × 3²
= 36
🔢 5. BÖLÜMÜN ÜSSÜ
(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
Örnek:
(2/3)² = 4/9
🔢 6. SIFIRINCI KUVVET
Sıfırdan farklı herhangi bir sayının 0. kuvveti:
1
olur.
a⁰ = 1
Örnek:
5⁰ = 1
(-7)⁰ = 1
⚠️ 0⁰ ifadesi bu temel kurallar kapsamında tanımsız kabul edilir.
🔢 7. BİRİNCİ KUVVET
Bir sayının 1. kuvveti kendisidir.
a¹ = a
Örnek:
8¹ = 8
🔢 8. NEGATİF ÜS
Negatif üs, sayının çarpmaya göre tersini almayı ifade eder.
a⁻ⁿ = 1/aⁿ
Örnek:
2⁻³ = 1/2³ = 1/8
🧠 KPSS:
Negatif üs → Ters çevir
🔢 9. NEGATİF SAYILARIN KUVVETLERİ
Negatif sayının:
Çift kuvveti → Pozitif
(-2)² = 4
Tek kuvveti → Negatif
(-2)³ = -8
🎯 EZBER:
Negatif taban + Çift üs → Pozitif
Negatif taban + Tek üs → Negatif
⚠️ 10. PARANTEZLİ VE PARANTEZSİZ ÜS
(-2)² = 4
Fakat:
-2² = -4
Çünkü ikinci ifadede üs yalnızca 2'ye aittir.
🚨 KPSS TUZAĞI:
(-2)² ≠ -2²
🔢 11. 10'UN KUVVETLERİ
10¹ = 10
10² = 100
10³ = 1000
10⁻¹ = 0,1
10⁻² = 0,01
10⁻³ = 0,001
🧠 Pozitif üs → Virgül sağa
🧠 Negatif üs → Virgül sola
🧮 12. BİLİMSEL GÖSTERİM
Çok büyük veya çok küçük sayıların:
a × 10ⁿ
şeklinde yazılmasına bilimsel gösterim denir.
Burada:
1 ≤ a < 10
olmalıdır.
Örnek:
450000 = 4,5 × 10⁵
0,00032 = 3,2 × 10⁻⁴
🌱 13. KÖKLÜ SAYILAR
Bir sayının hangi sayının karesi olduğunu bulmayı sağlayan ifadeler kareköktür.
√a
şeklinde gösterilir.
Örnek:
√25 = 5
Çünkü:
5² = 25
🧠 KPSS:
√a = b ise → b² = a
🌱 14. TAM KARE SAYILAR
Karekökü tam sayı olan sayılara tam kare sayılar denir.
Önemli tam kareler:
1 → 1²
4 → 2²
9 → 3²
16 → 4²
25 → 5²
36 → 6²
49 → 7²
64 → 8²
81 → 9²
100 → 10²
121 → 11²
144 → 12²
169 → 13²
196 → 14²
225 → 15²
🌱 15. KAREKÖKTE ÇARPMA
√a × √b = √(a × b)
Örnek:
√2 × √8 = √16 = 4
🌱 16. KAREKÖKTE BÖLME
√a / √b = √(a/b)
Örnek:
√18 / √2 = √9 = 3
🌱 17. KÖKLÜ SAYIYI SADELEŞTİRME
Kök içindeki sayı tam kare çarpanlarına ayrılır.
Örnek:
√72
= √(36 × 2)
= 6√2
🌱 18. KÖKLÜ SAYILARDA TOPLAMA
Kök içleri aynı olan ifadeler toplanabilir.
Örnek:
3√2 + 5√2 = 8√2
Fakat:
√2 + √3
doğrudan toplanamaz.
🎯 KPSS:
Benzer köklüler → Katsayılar toplanır/çıkarılır.
🌱 19. KÖKLÜ SAYILARDA ÇIKARMA
Örnek:
7√3 - 2√3 = 5√3
Önce köklerin aynı olup olmadığına bakılır.
🌱 20. KÖKLÜ SAYILARDA PAYDA RASYONELLEŞTİRME
Paydada köklü ifade varsa payda kökten kurtarılabilir.
Örnek:
1/√2
Pay ve paydayı √2 ile çarp:
√2/2
Sonuç:
√2/2
🧠 KPSS:
Paydada kök bırakmamaya çalışılır.
🌱 21. KÖKLÜ SAYILARDA SIRALAMA
Pozitif sayılarda:
a < b ise √a < √b
Örnek:
√5 < √8
Kök içleri karşılaştırılabilir.
🧩 22. ÇARPANLARA AYIRMA
Bir cebirsel ifadeyi daha küçük çarpanların çarpımı şeklinde yazmaya:
Çarpanlara ayırma
denir.
Örnek:
x² + 5x
Ortak çarpan:
x
olduğu için:
x(x + 5)
şeklinde yazılır.
🧩 23. ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA
Terimlerde ortak olan ifade bulunur.
Örnek:
6x + 9
Ortak çarpan:
3
Sonuç:
3(2x + 3)
🧩 24. İKİ KARE FARKI
En önemli çarpanlara ayırma kurallarından biridir.
a² - b² = (a-b)(a+b)
Örnek:
x² - 25
= x² - 5²
= (x-5)(x+5)
🎯 EZBER:
İki kare farkı → Fark × Toplam
🧩 25. TAM KARE ÖZDEŞLİĞİ
Birinci özdeşlik
(a+b)² = a² + 2ab + b²
İkinci özdeşlik
(a-b)² = a² - 2ab + b²
🧠 EZBER:
Kare açılımı → İlk kare ± 2çarpım + Son kare
🧩 26. KÜPLER FARKI
a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²)
Örnek:
x³ - 8
= x³ - 2³
= (x-2)(x² + 2x + 4)
🧩 27. KÜPLER TOPLAMI
a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²)
Örnek:
x³ + 27
= x³ + 3³
= (x+3)(x² - 3x + 9)
🧠 28. ÇARPANLARA AYIRMA EZBERİ
a² - b² = (a-b)(a+b)
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a-b)² = a² - 2ab + b²
a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)
a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)
⚖️ 29. ORAN
Aynı türden iki çokluğun birbirine bölünerek karşılaştırılmasına:
Oran
denir.
Örnek:
Bir sınıfta 10 kız, 20 erkek varsa:
Kızların erkeklere oranı = 10/20 = 1/2
⚠️ Oranlanan çoklukların birimleri aynı olmalıdır.
⚖️ 30. ORANIN TEMEL ÖZELLİĞİ
Bir oranın pay ve paydası aynı sıfırdan farklı sayıyla çarpılır veya bölünürse oran değişmez.
Örnek:
2/3 = 4/6 = 6/9
⚖️ 31. ORANTI
İki oranın birbirine eşit olmasına:
Orantı
denir.
a/b = c/d
şeklinde gösterilir.
Burada:
a × d = b × c
olur.
🎯 KPSS:
İçler çarpımı = Dışlar çarpımı
⚖️ 32. DOĞRU ORANTI
İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa:
Doğru orantı
vardır.
x/y = sabit
Örnek:
1 kalem 10 TL ise:
2 kalem → 20 TL
3 kalem → 30 TL
🧠 Doğru orantıda biri artarsa diğeri de artar.
⚖️ 33. TERS ORANTI
İki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa:
Ters orantı
vardır.
x × y = sabit
Örnek:
Bir işi:
4 işçi → 12 günde
6 işçi → 8 günde
bitiriyorsa:
4 × 12 = 6 × 8
48 = 48
🎯 EZBER:
Doğru orantı → Bölüm sabit
Ters orantı → Çarpım sabit
🧮 34. CEBİRSEL İFADELER
İçinde bilinmeyen ve sayılar bulunan ifadelere:
Cebirsel ifade
denir.
Örnek:
3x + 5
2a - 7
x² + 3x + 2
🔤 35. CEBİRSEL İFADEDE TERİM
Toplama veya çıkarma işaretleriyle ayrılan parçalara:
Terim
denir.
Örnek:
3x + 5 - 2y
ifadesinde:
- 3x → Terim
- 5 → Terim
- -2y → Terim
Toplam:
3 terim
vardır.
🔢 36. KATSAYI
Bir terimde bilinmeyenin önünde bulunan sayıya:
Katsayı
denir.
Örnek:
7x
ifadesinde katsayı:
7
dir.
-3x
ifadesinde katsayı:
-3
tür.
🧠 x'in katsayısı yazılmamışsa 1 kabul edilir.
x = 1x
🧩 37. SABİT TERİM
İçinde bilinmeyen bulunmayan terime:
Sabit terim
denir.
Örnek:
5x + 8
ifadesinde:
8 → Sabit terim
🧮 38. BENZER TERİMLER
Aynı değişken ve aynı kuvvete sahip terimlere:
Benzer terimler
denir.
Örnek:
3x + 5x = 8x
7a - 2a = 5a
Ancak:
3x + 2x²
benzer terim değildir.
🧮 39. CEBİRSEL İFADELERDE DAĞILMA
Bir sayı parantez içindeki tüm terimlerle çarpılır.
a(b+c) = ab+ac
Örnek:
3(x+4)
= 3x + 12
🧮 40. NEGATİFLE PARANTEZ AÇMA
Parantezin önünde - varsa içerideki tüm terimlerin işareti değişir.
Örnek:
-(x+5)
= -x - 5
Başka örnek:
-(x-3)
= -x + 3
🚨 KPSS TUZAĞI:
Eksi paranteze girerse bütün işaretler değişir.
🧮 41. BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM
Genel biçimi:
ax + b = 0
şeklindedir.
Burada:
a ≠ 0
Örnek:
3x + 6 = 18
3x = 12
x = 4
🧮 42. DENKLEM ÇÖZME
Denklem çözmenin amacı:
Bilinmeyeni yalnız bırakmaktır.
Örnek:
2x + 5 = 15
Her iki taraftan 5 çıkar:
2x = 10
Her iki tarafı 2'ye böl:
x = 5
🧮 43. PARANTEZLİ DENKLEM
Örnek:
2(x+3) = 14
Parantezi aç:
2x + 6 = 14
2x = 8
x = 4
🎯 KPSS:
Önce parantezleri aç, benzer terimleri düzenle, bilinmeyeni yalnız bırak.
🧮 44. KESİRLİ DENKLEMLER
Denklemde kesirler varsa:
Paydaların EKOK'u
ile her iki taraf çarpılarak paydalardan kurtulunabilir.
Örnek:
x/2 + 1/3 = 5/6
Paydaların EKOK'u:
6
Her tarafı 6 ile çarp:
3x + 2 = 5
3x = 3
x = 1
🧠 45. ÜSLÜ SAYILAR SÜPER EZBER
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
a⁰ = 1
a⁻ⁿ = 1/aⁿ
(-a)çift = pozitif
(-a)tek = negatif
🌱 46. KÖKLÜ SAYILAR SÜPER EZBER
√a × √b = √ab
√a / √b = √(a/b)
√72 = 6√2
Benzer köklüler → Katsayılar toplanır
√a → 0'a uzaklık değil, a'nın kareköküdür
🧩 47. ÇARPANLARA AYIRMA SÜPER EZBER
a²-b² = (a-b)(a+b)
(a+b)² = a²+2ab+b²
(a-b)² = a²-2ab+b²
a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)
a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)
⚖️ 48. ORAN-ORANTI SÜPER EZBER
Oran → İki çokluğu karşılaştırır.
Orantı → İki oranın eşitliğidir.
Doğru orantı → Bölüm sabit
Ters orantı → Çarpım sabit
a/b = c/d → a×d = b×c
🔤 49. CEBİRSEL İFADE SÜPER EZBER
Terim → + ve - ile ayrılan parçalar
Katsayı → Bilinmeyenin önündeki sayı
Sabit terim → Bilinmeyen içermeyen terim
Benzer terim → Aynı değişken + aynı kuvvet
x → 1x
x² → x'in karesi
🏆 50. KPSS ALTIN KURALLAR
🎯 Üslü ifadelerde aynı taban çarpılıyorsa üsler toplanır.
🎯 Üslü ifadelerde aynı taban bölünüyorsa üsler çıkarılır.
🎯 Üssün üssünde üsler çarpılır.
🎯 Negatif üs → Sayının tersini al.
🎯 Negatif sayının çift kuvveti pozitiftir.
🎯 Negatif sayının tek kuvveti negatiftir.
🎯 Köklü ifadelerde önce tam kare çarpan ara.
🎯 Sadece benzer köklü ifadeler toplanabilir.
🎯 İki kare farkı → Fark × Toplam
🎯 Doğru orantı → Bölüm sabit
🎯 Ters orantı → Çarpım sabit
🎯 Orantıda → İçler çarpımı = Dışlar çarpımı
🎯 Denklemde amaç → Bilinmeyeni yalnız bırakmak.
🎯 Parantezin önünde eksi varsa → Tüm işaretleri değiştir.
🎯 Cebirsel ifadelerde yalnızca benzer terimler toplanıp çıkarılabilir.
📌 51. 30 SANİYELİK TEKRAR
ÜSLÜ SAYILAR
Çarpma → Üsleri topla
Bölme → Üsleri çıkar
Üssün üssü → Üsleri çarp
Negatif üs → Ters çevir
KÖKLÜ SAYILAR
Tam kareyi bul
Kök dışına çıkar
Benzer köklüleri topla
Paydada kök varsa rasyonelleştir
ÇARPANLARA AYIRMA
Ortak çarpan
İki kare farkı
Tam kare özdeşliği
Küp farkı
Küp toplamı
ORAN-ORANTI
Oran → Karşılaştırma
Doğru orantı → Bölüm sabit
Ters orantı → Çarpım sabit
CEBİR
Terim
Katsayı
Sabit terim
Benzer terim
Parantez açma
Denklem çözme
🏆 KPSS MATEMATİK ANA FORMÜL LİSTESİ
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
a⁰ = 1
a⁻ⁿ = 1/aⁿ
√a × √b = √ab
√a / √b = √(a/b)
a²-b² = (a-b)(a+b)
(a+b)² = a²+2ab+b²
(a-b)² = a²-2ab+b²
a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)
a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)
a/b = c/d → a×d = b×c
Doğru orantı → x/y = sabit
Ters orantı → x×y = sabit
ax+b=0 → x=-b/a
🎯 KPSS TAKTİĞİ:
Formülü ezberlemek tek başına yeterli değildir. Soruda hangi yapının kullanıldığını hızlı tanımak gerekir.
Aynı taban → Üs kuralı
Kök → Tam kare ara
Cebirsel ifade → Benzer terimleri bul
Çarpanlara ayırma → Ortak çarpan/özdeşlik ara
Oran → Karşılaştır
Orantı → İçler-dışlar çarpımı
Denklem → Bilinmeyeni yalnız bırak
Üye olursan okuduğun notlar işaretlenir, kaldığın yeri kaybetmezsin.